Where does this limit come from?

Question

Mathematics

where does this limit come from?

Answer 1

u limited. h tends to zero. Therefore u*h - tends to zero.

Answer 2

Thanks to Lynn "Coffeeman" I realized what obviously stands for the boundedness property of the Riemann integral function .

old answer

Очевидно, что ... m<=f(x)<=M | x∈[a;b] откуда следует, что ... Ф непрерывна.

Как же я обожаю доказательства, которые опираются на очевидные вещи. Приведённое доказательство можно переписать более кратко:

Совершенно очевидно, что интеграл непрерывен, а Ф = интегралу, следовательно не трудно показать, что Ф тоже непрерывна.

В действительности в приведённом доказательстве пропущено одно важное допущение: f(x) непрерывна на промежутке интегрирования. Непрерывность - это одно из достаточных условий интегрируемости f. Тогда, следуя логике приведённого доказательства, функция непрерывна и на промежутке [x;x+h]. Поэтому при замене разности интегралов на площадь прямоугольника ΔФ=Δx*Δf(Δx) мы опираемся на свойство непрерывности f, определение которой lim [Δx→0] Δf(Δx) = 0. Из этих двух уравнений получаем lim [Δx→0] ΔФ=Δx * lim [Δx→0] Δf(Δx) = Δx * 0 = 0.
Возвращаемся на два предложение назад к определению непрерывности: lim [Δx→0] ΔФ(Δx) = 0 - т. е. полученное уравнение является определением непрерывности ΔФ, ч. т. д.